About Numerical Range

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2007年1月25日

Stone, Marshall Harvey

Linear Transformations in Hilbert Space and their Applications to Analysis
AMS Colloquium Pub.,vol XV
これは古典
モーメント問題とself adjjoint operator の関係もあるが、
Numerical Range が凸集合であること(Toeplitz Hausdorff) の証明が
p。131-133にある

2007年1月 9日

numerical range 文献

1.H.-L.Gau and P.Y.Wu, Numerical range of S(φ), Linear and Multilinear Algebra 45(1998),49-73
2..H.-L.Gau and P.Y.Wu, Dilationto inflations of S(φ), Linear and Multilinear Algebra 45(1998),109-123
3.B.Mirman, Numerical ranges and Poncelet curves, Linear Algebra Appl. 281(1998),59-85
4.P.Y.Wu, A numerical range characterization of Jordan blocs, Linear and multilinear Algebra 43(1998), 351-361
5.P.Y.Wu,,Polygons and numerical ranges, Amer.math.Monthly 107(2000),528-540
6.M-T.Chien and H.Nakazato, Complex formulation of Poncelet property in numerical range, Linear and multilinear Algebra 52(2004)159-175
7.U.Daepp,P.Gorkin and R.Mortini, Ellipses and finite Blaschke products, Amer.Math.Monthly 109(2002),78-795

2006年12月30日

Poncelet の定理

Ponceletの定理の証明は
代数幾何学 硲文夫著 森北出版 の第12章と13章にある。
硲氏の代数学の書物は極めて読みやすいもので
初等代数学 森北出版
代数学 森北出版
の順に読んでいくとよいだろう(予備知識なしで読める)
さらに、代数幾何学の本には楕円曲線と整数論の関係にも触れられており
楕円暗号を学ぶにも欠かせない理論である。
ただし、代数幾何学そのものの全貌を理解(私はまだ)
しようとするとそれはそれで、数年かかるだろうことは覚悟せねばならない

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2006年12月29日

Karaev 先生からのe-mail

e-mail from Mubariz Karaev
Dear Dr.Arimoto
Thank you for your interest and critics on my paper.
I want to say that for the nilpotent operator N
on a Hilbert space H always the origin is interior
point of the numerical range W(N) of N.
This assertion can be proved by several way:
1) It is clear from the earlier result of
Chi-Kwong Li and N-K Tsing
“Matrices with circular symmetry” ,
Proc.Amer.Math.Soc,111,1,1991,19-28,
cited in my paper. The circular property of W(N)
was proved firstly in their paper.
2) From the well-known result of F.F.Bonsall and J.Duncan
( “Numerical ranges”, in Studies mathematics 21,1980,1-49),
namely, from the Corollary on p.22, follows
that if 0 is not an interior point of W(N),
then ker(N) is perpendicular to NH(=R(N)),i.e.,
for every x in ker(N) and y in R(N) we have (x,y)=0.
In particular, since N^(n-1)z belongs to the ker(N),
where n is the nilpotency order ,
and N^(n-1) z is in NH, we have that (N^(n-1)z,N^(n-1)z)=0,
for every z in H, from this ||N^(n-1)z||=0, that is N^(n-1)z=0,
which is impossible, because the nilpotency order is n,
but not n-1!

If you will have any question yet, please write me again.
I would be very grateful to you if you will send me your
simpler proof of my result.

Best regards,

Mubariz Karaev
Suleyman Demirel University
Department of Mathmatics
3226060 Isparta, TURKEY

garayev@fes.sdu.edu.tr
2004年5月6日18:41

2006年12月23日

numerical range 文献

(1)D.N.Clark,One dimensional perturbations of restricted shifts, J.Anal.Math.25(1972)161-191
(2)H-L.Gau and P.Y.Wu,, Condition for the numerical range to contain an elliptic disc, Linear Algebra Appl.,364(2003),213-222
(3)H-L.Gau andP.Y.Wu, Numerical range of a normal compression, Linear and Multilinear Algebra,
(4) B.Mirman, Numerical ranges and Poncelet curves, Linear Algebra Appli.281(1998),59-85
(5)B.Mirman, UB-matrices and conditions for Poncelet polygon to be closed, Linear Algebra Appl.360(2003),123-150
(6) B.Mirman, V.Borovikov,L.Ladyzhensky and R.Vinograd, Numerical ranges,Poncelet curves, invariant measures, Linear Algebra Appl.329(2001),61-75
(7)P.Y.Wu, Polygons and numerical ranges, Amer.Math.monthly 107(2000),528-540
(8)U.Daepp,P.Gorkin and R.Mortii, Ellipse and finite Blaschke products, Amer.Math.Monthly 109(2002),785-795
(9)M-T.Chien and H.Nakazato, Complex formulation of Poncelet property in numerical range, Linear and Multilinear Algebra

2006年11月24日

Hwa-Long Gau and Pei Yuan Wu

Numerical Range and Poncelet Property
Taiwanese Journal of Mathematics
vol.7,no2.pp.173-193
2003
http://www.math.nthu.edu.tw/tjm/

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