About ポンスレの定理

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2015年2月13日

楕円曲線の等分点

楕円曲線の等分点.pdf

2014年5月23日

Chebyshev polynomal of second kind

Chebyshev polynomial of second kind.pdf

2014年5月15日

ポンスレ問題におけるケーリーの基準

ケーリーの条件.pdf


S1061-0022-08-01012-1.pdf

2013年7月 9日

2つの楕円に対するポンスレの定理(補足)

2つの楕円のポンスレの定理(補足版).pdf

2013年6月23日

Jacobi の不変量

jacobi invariant

Jacobi不変量.pdf

2013年6月 5日

ヤコビのスタイルでポンスレの定理証明

2つの円に対するポンスレの閉形定理.pdf

2013年5月23日

2つの楕円とポンスレリズム

2つの楕円のポンスレの定理.pdf

2013年5月 8日

2つの双曲線とポンスレの定理

双曲線のポンスレの定理.pdf


2012年2月28日

2つの楕円

2つの楕円.pdf

2つの楕円の長軸短軸の向きが同じ場合は円と楕円の場合の証明がほとんど変更なく使える。

2012年1月 2日

楕円関数のよく知られた初等幾何学の問題への応用.pdf

Jacobi は思いのほかわれわれと同じことを1828年にやっている。

2011年12月24日

ヤコビ楕円関数とはなにか

ヤコビ楕円関数とはなにか.pdf

ぼくは、ポンスレの定理の円と円の場合でも内側の円は包絡線として 表現されると考えている。しかし、いまのところ計算途上である。 現状報告open problemとしてまとめてみた。


2011年12月15日

confocal ellipse and hyperbola

confocal.pdf

Greenhill の例題から-------------------- 楕円上の2つの接線の交点の軌跡が 最初の楕円と焦点が同じすなわち、 confocal な 楕円や confocal な 双曲線となるための 接点の位置の選び方を与える。 つまり、楕円上の点の座標を楕円関数で表し その 接点の位置のparameter表示 をu,v とするとき u-v=constant なら 楕円 u+v=constant なら双曲線が出てくる。


2011年12月 7日

Greenhill の例題

Greenhill の例題.pdf

2011年11月22日

楕円の共焦点族とポンスレの定理

楕円の共焦点族とポンスレの定理.pdf

いろいろの場合に楕円関数の加法定理がそのまま使えるようだ

2011年11月16日

Elliptic Functions and Poncelet's Closure Theorem

Elliptic_Function_and_Poncelet.pdf

2011年11月13日

楕円関数とポンスレの定理

楕円関数とポンスレの定理.pdf

中里先生の論文の意味を考えてみました。

Hiroshi Nakazato, Remark on Poncelet’s Closure Theorem,
Bull. Fac. Sci. Tech. Hirosaki Univ.5,1-10(2003)

2011年10月17日

Kerawala

Kerawala.pdf

Kerawala の壮大な計画とわれわれの方法と比べたい まだ、書きかけ・・・・


2011年10月 3日

Poncelt ポリズムn角形をつくる条件

ponsletpolismcondition.pdf

いくつかミスプリントを訂正しました 6角形をつくる条件を追加しました。

2011年9月27日

pentagon をつくるSteiner 条件の十分条件


ポンスレの5角形 Steiner の条件が十分であることの野原氏による証明を置きます


Steiner十分条件.pdf

2011年9月14日

ポンスレ ポリズム の十分条件

Ponceletポリズムの十分条件.pdf

2011年8月 6日

Poncelet ポリズム6角形の条件

Poncelet6角形の条件.pdf

3節で3角形、4節で4角形、5節で6角形についての条件を示す。
nが偶数のときのほうが、nが奇数のときより簡単に見える。実際、スタイナーではn=8の場合の結果があるのにn=7 が無い。また、n=5では条件式に平方根がありn=7の条件は平方根を含んでいるのではなかろうか。あれこれ想像するのも楽しいものである。

2011年7月28日

ポンスレのn多角形ができる条件

Ponceletのn多角形ができる条件.pdf

円と円の場合のオイラーの条件 Fuss の条件などの導出
楕円関数の値を用いて求める方法

2011年7月 4日

同心にある円と楕円についてのポンスレの定理

同心楕円とポンスレの定理2.pdf

2011年6月26日

同心にある円と楕円ポンスレリズムのオイラー微分方程式

同心楕円とポンスレの定理.pdf

2011年6月 8日

ポンスレの定理の証明.pdf


安達忠次 The Application of Complex Number to Geometry. I


2011年6月 5日

オイラーの微分方程式

微分方程式と加法定理.pdf 楕円関数の加法定理 ポンスレの定理との関連

2011年3月 4日

ポンスレの閉形定理におけるn角形

3月4日の修正版3月6日付けです
n_Poncelet.pdf

2011年2月 8日

n角形 Bos の方法

ぼくは
n角形 ポンスレの閉形定理にボスによる方法を採用しようと考えた。


BosMethod.pdf


2011年1月23日

ポンスレの閉形定理における4角形

Bicenric quadrilaterals.pdf


Fussの関係式の証明をする。
Greenhill はその著書[1] において、
幾何学を用いて楕円関数の加法定理やさまざまな関係式を導いており、
その中でポンスレの閉形定理にも触れている。
参考文献
[1] Greenhill,A.G. The Application of Elliptic Functions 1892(1950 Dover)
[2] Radic, Mirco Some Relations Concerning Triangles and Bicentric Quadrilaterals in Connection with Poncelet’s Closure Theorem, Math.Maced ,vol.1(2003) 35-58

引用-----

このように見てくると、四角形の面積を求めるために幾何学を駆使して得た定理5.1と、楕円関数の加法定理を変形しながら代数計算して得た定理5.2 との間には、あい通じる脈絡は無く、別の世界の論理が支配しているように見えて、結果がまったく同じになっているという不思議な自然の偶然を感じてしまうのである。

2011年1月 4日

Greenhill の定理

Greenhill.pdf

まだ未完成です

2010年12月22日

ポンスレの閉形定理における3角形

form mt:asset-id="338" class="mt-enclosure mt-enclosure-image">CUTS_002.GIFオイラーの関係式を計算により示しました。
triangle1.pdf<

2010年11月19日

ポンスレリズムの形成で切り取られる接線の長さ

ポンスレポリズムの形成で切り取られた接線の長さ.pdf

同心でない2つの円の場合 ヤコビにより、かれの楕円関数が周期をもつ と言う性質をもとに証明された。

2010年11月17日

2つの楕円についてのポンスレの閉路定理

form mt:asset-id="328" class="mt-enclosure mt-enclosure-file">Proof of the Poncelet Closure Theorem.pdf


2つの同心円の場合は、3角関数を用いた。
2つの同心楕円の場合は、楕円関数を用いるとできる

中里先生の論文<

2010年11月15日

ポンスレポリズム

ポンスレポリズムの形成.pdf

円の場合は問題ない 一般の楕円の場合はどうすれば良いだろうか?

2010年11月10日

Poncelet Porism の形成(version2)

Poncelet Porism形成のアイデア2.pdf

2010年11月 6日

Poncelet Porism の形成

Poncelet Porism の形成のアイデア.pdf

見込み違いということもある 代数幾何学を用いずに解析学だけで ポンスレの定理を証明できたらいいのに

2010年11月 5日

ポンスレの定理 porism

PonceletforBMC.pdf

Robert Bryant 氏による証明をのせます

ポンスレの定理.pdf

相空間で楕円を描く微分方程式を考え、これの ポアンカレマップのn乗の固定点。 これが、初期条件に依存しないことを示したい。 残念ながらうまくいっていません 解析的に示せないものか? 楕円軌道をあらわす微分方程式を構成し、 それを図形のパラメータ表示と考える われわれは、そのようにして、天体の運行や物理現象を説明してきた


2010年10月30日

The Poncelet Theorem

19世紀のはじめにPonceletは自身で開発した射影幾何学をもちい、楕円の場合についてPoncelet のclosed theoremを証明した。しかし後になって、楕円の特別の場合として円の場合、幾何学でなく解析的な方法で証明できることを,Carl Gustaf Jacob Jacobi(1804-1851) が示した[1]。Jacobi が行ったのは、楕円積分を用いる証明である。Jacobiの方法はどのようなものであったか未見であるためここでは述べることができないが、証明を簡単化したJoseph Louis Francois Bertrand(1822-1900)によるものが、Schoenberg[2] にある。良く見ると、楕円関数が周期関数であることが用いられている。
このぶんだと、Duffing 微分方程式を用いてポンスレの定理を証明できるかも知れぬ。


[1] C.G.J.Jacobi Uber die Anwendung der elliptischen Transcendenten auf ein bekanntes Problem der Elementaregeometrie,J.Reine Angrew. Math.3(1828)376-389
[2] Isaac J. Shoenberg Mathematical Time Exposures ( 数学点描 (三村護 訳)近代科学社) 
[3]上野健爾、志賀浩二、森田茂之 高校生に贈る数学 vol.Ⅱ 岩波書店
その英訳:

サイエンスパートナシッププログラム事業
の説明が秀逸である
http://www.nara-wu.ac.jp/fuchuko/curriculum/study/Math/UENOkougi.pdf

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