About 微分方程式論

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2013年12月15日

バネマス系

2つの質量を持つバネマス系の微分方程式をコンピュータシミュレーションで解いてみると、

解の軌跡を表す曲線が8の字になったりそれをゆがめたようなものを作ることができるらしい。

さらに長方形のなかを密に埋め尽くすような曲線もでてくるらしい

springmass.pdf

2007年4月20日

第3回講義内容

完全微分方程式について説明する
微分方程式を変形して解の一般形に持っていける場合を説明する
積分因子について説明する

2007年4月15日

第2回

(1)変数分離で微分方程式を解く
(2)微分方程式が実際問題でどんな役が経つか
ロケットを飛ばして人工衛星にするのに、初速度をいくらにすればよいか?

2006年5月29日

解の存在と一意性

このテーマは数学ではお決まりの話題である。物理や工学をやる人にとって、現象が先にあるので、解の存在定理などなぜやる必要があるのかという疑問を持つだろう。解の存在は一般的にやるとそれはそれで大変である。そこで、線形2階定数係数の場合だけさわりを触れる。一方一意性についても、証明に関しては当たり前のことをどうしてくどくどしくやるのかと思うかもしれない。
しかし、一意性の結果については方程式を実際に解く場合に、おおきな役割を果たす。要するにどんな方法でも発見的に解を探せばよく、それが正しいものであることを保証しているわけである。

もうひとつ今回の授業では「線形性」を再度説明した。線形性は重ね合わせ、複雑な解も単純な解を線形結合で組み合わせて求められる非常に大切な概念である

2006年5月 1日

5月8日

定数変化法について
ベルヌイ微分方程式の解き方

5月1日

定数係数線形微分方程式では、同次(homogeneous 右辺がゼロ)の場合の一般解と
特殊解の和になること(重ね合わせの原理)を利用して解く問題
と積分因子をかけて変数分離で解く場合を説明した

2006年4月26日

5月1日

5月1日の授業では線形1階微分方程式の一般解の解法で、定数係数の場合
特殊解が三角関数、指数関数
の場合について勉強する。
つぎに、線形1階微分方程式で、係数がxに依存する場合、適当な積分因子を掛けることにより
求められる場合を考察する。この積分因子を求める方法について説明する。

さらにまた、
定数変化法という方法
についての説明する。
つぎに、
定数変化法のやり方を形式的にマスターするだけでなく、
これは、同次形の問題から変数分離形に持って行く変数変換と対応づけてみるとわかるのだが
同次方程式の部分が見事に消えてしまううまいテクニックであることがわかる。
このようなテクニックの発見のプロセスを体得してもらいたいと願う。
時間の関係で、定数変化法は5月8日に改めて説明することになるかもしれない

2006年4月21日

4月24日

前回は変数分離微分方程式の解き方を説明した
練習問題はあまりできていなかったので、これを最初に説明します
今回は
(1)同次形微分方程式
(2)定数係数1階微分方程式の一般解と非同次の特殊解を未定係数法でもとめ
これらを加えることによって、非同次の一般解の求め方を述べる。

(2)の方法は、きわめて応用が広く、2階、3階…の場合にも同様に拡張される。

2006年4月17日

第2回

今日は変数分離型微分方程式の解法について説明しました。
微分方程式は、単なる計算だけでなく
その持つ意味は深く、さまざまな学問分野で応用されることを説明しました。

2006年4月10日

第1回

教科書の指定 明解 微分方程式長崎憲一・中村正彰・横山利章共著培風館1400円

今日お話したのは、微分演算は積分演算の逆であること微分も積分も線形性を持つことしたがって、微分方程式を解くというのはマトリックスの逆行列をもちいて連立1次方程式を解くことと似ている。つまり、微分積分の問題は線形代数の問題に変わることをお話しました

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