数学者の一人ぐらし

ある関数をフーリエ級数に展開する。
これはある意味で最良近似になっている。
近似する関数はできるだけ簡単なものがよい。
これは多項式だと　xⁿ というものの一次結合であり
フーリエ級数の場合はいくつかの三角関数の一次結合である。

ランダムな現象に周期が隠れてることがある。
たとえば、あの大空の星。
星はポアソン分布でランダムに散らばって輝いている。
でも、そこに周期運動という不思議な現象が隠れている。

僕らの運勢もバイオリズムがあるじゃないか。やっぱり周期性が隠れている。

2乗してマイナスになる不思議な数、複素数を使うとFourie級数は簡単になる。
オイラーの定理は、三角関数と指数関数の橋渡しをする。
三角関数の加法定理は、指数関数の指数法則。
後者のほうがずいぶん簡単で理解しやすい。
複素数を導入することで、フーリエ解析の理解が容易になる。
複素関数論との橋渡しができる。

区間が[-π,π] というのはフーリエ級数が三角関数を使っているからである。
変数変換することで、この区間は[-L,L]はもっと一般の区間の場合にも適用できる。
この形は将来フーリエ変換の導入に利用される。L→∞とする。

偶関数、奇関数についてお話しする。cos 関数は偶関数、sin 関数は奇関数
したがって、偶関数のフーリエ級数ははcos だけをふくむ
奇関数のフーリエ級数はsin だけを含む。