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ブログ「数学者の一人ぐらし」のカテゴリ「数学」に投稿された全てのエントリーです。新しいものから過去のものへと並んでいます。

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数学 アーカイブ

2007年12月16日

epsilon=0

On a cyclic solution3.pdfOn a cyclic solution3.doclimit cycle solution is only two types.

2006年12月16日

インターネットに転がっている重要論文のいくつか

読もうと思ってデスクトップにおいたまま
これはなんだったか、出典もわからぬが

method of Krein space operator theory James Rovnyak

Some extensions of Lowner's theory of monotone operator functions Alpay,Bollotnikov,Dijksma and J.Rovnyak, To Marvin Rosenblum, with best wishes on th eoccation of his retirement

次は読むべき:

Scrodinge operators and deBranges spaces,Christian Reming

Polynomial approximation Lp(R, d μ), Andrew G.Bakan

2006年11月30日

Sturm-Liouville problems

Inverse spectral theory for Sturm-Liouville Problems with finite spectrum
Hans Volkmer and Anton Zettl
Proceeding of AMS,vol.135,1129-1132
(2007)

2006年10月29日

日本数学会雑誌の電子版

http://wwwsoc.nii.ac.jp/msj6/shuppan/

1948-1988までは

http://www.journalarchive.jst.go.jp/japanese/jnltop_ja.php?cdjournal=mathematics1948

2005-2006のあいだは

http://projecteuclid.org/Dienst/UI/1.0/JourNav?authority=euclid.jmsj&type=past

perturbation後もsolition解であるためには

perturbationによるsoliton solutionの存続

われわれの微分方程式は数式1であった。
数式2の場合(case 1)を考察する。

標準的なソリトン:数式3
数式4のsizeは数式5ぐらい。

いま複素平面上で数式6つの円周数式7を考える。

数式8:原点を中心とする半径数式9の円(数式9数式4のsizeとする)
数式10数式11-perturbationによる点数式12の移動の範囲
数式13数式11-perturbationによる点数式14の移動の範囲

(I)
数式11の大きさ
(1)
数式15とすれば数式16においてRoucheの定理が適用できる。 数式17
(2)
数式18とすれば数式19においてRoucheの定理が適用できる。
数式20

同様に数式21

いま数式19の半径をたとえば数式22ととなるとき数式19は交わらない円となり数式23の条件が成り立てば数式24が成り立つので、Roucheの定理が適用できる。すなわち、数式25として、数式23の条件下で、数式26数式27の中に数式28つだけ数式29の中に数式28つだけ数式30という実数根を持つことがいえる。

残された問題と検討:数式11数式31のような条件を満足しなければならない。数式9をあまり大きくとりすぎると数式11はほとんどゼロで面白くない。数式32をどのように選ぶか? 数式31の条件をなるべくシンプルにまとめたい。


(II)

points数式33はcenterとなるための条件、数式2の場合(case 1)を考察する。数式34ではpoints数式35はcenterであった。数式36ではどうなるか?

数式25のゼロ点数式37数式30数式11の変化とともにそれぞれ円数式27と円数式38の範囲内の実数軸上を移動する。

(3)
数式39がcenterであるためには数式40であればよい。じつは常に成り立つ。数式37は単根であるので、
数式41

とかけるが、ここで、数式42。両辺を数式43で微分して、

数式44

したがって

数式45

数式46はいつも成り立つ。つまりこの場合、固有値として数式47


(4)

数式48がcenterであるためには数式49であればよい。

検討:数式50数式51と同じようにやればよいが、数式52が偶数だとよいが、奇数だと数式11を十分小さく取る必要がある。数式53I数式54数式11の大きさと連動させる。そもそも数式36でよいのか? もし数式55もみとめるなら、すべての条件を数式52偶数奇数の場合としないで、数式11の大きさでまとめることができる(いずれがよいか?)

2006年9月26日

Roucheの定理

数式1とおく。(数式2は整数でなくとも良い!)

Rouche's Thoerm

数式3平面上のJordan閉曲線数式4の内部を数式5とするとき、$f(z)g(z)$数式7で正則で、数式4上で数式8が成り立つならば数式5において数式9数式10は同じ個数の数式11点をもつ

この定理を適用すれば、数式12において数式13数式14が満たされるよう小さくとり、

(1)
数式4数式15数式16数式17点を囲む曲線を選ぶことによって、数式12の根が数式17個あることを示すことができる。
(2)
数式18数式15を含み数式16を含まない小さな円とすれば数式12数式15の近くに根を数式19個もち、それが実数根であることをいうことができる(なぜなら数式12の係数が実数であるから)
(3)
数式20数式16を含み数式15を含まない小さな円とすれば数式12数式16の近くに根を数式19個もち、それが実数根であることをいうことができる(なぜなら数式12の係数が実数であるから)

2006年9月23日

関連

前回

数式1 (1)
をポテンシャル数式2を持つ線形Schrödinger微分方程式と呼んだ。特殊解をひとつ選び数式3とする。

数式4とおく。このとき、数式5は補題数式6で与えるRiccati微分方程式を満たす。

補題1

数式7 (2)

ところで、われわれのnonlinear Schrödinger微分方程式

数式8 (3)

は上記線形Schrödinger微分方程式は関連しているだろうか?

yesである。いま、数式9とおいてみると、数式10数式11を満たす。

また、数式12とすると、数式13であり、数式14となり数式15式との関連から数式16よりこのRiccati微分方程式はわれわれの微分方程式数式17そのものである!

つまり数式18重の意味で関連している。

Misouri大学の動画数学講義

Pseudospectra of Berezin-Toeplitz operators
Speaker: Alejandro Uribe Date: May 2003
Keywords: Mathematics; Lectures
http://www.archive.org/details/lecture_10206

What is HAAR Measure Anyways?
Speaker : Persi Diaconis
Keywords: lecture; Mathematics
http://www.archive.org/details/lecture11395_Diaconis

Recent Developments in the Relation Between Diophantine Problems and Nevanlinna Theory
Speaker : Paul Vojta The end of this lecture was clipped during taping.
http://www.archive.org/details/lecture11660

Geometric Measure Theory, Harmonic Analysis and Potential Theory, V
Speaker : Tatiana Toro
Keywords: lecture; Mathematics
http://www.archive.org/details/lecture11941

Fermat's Last Theorem - The Theorem and Its Proof: An Exploration of Issues and Ideas
Speaker : Robert Osserman, Lenore Blum, Ken Ribet, John Conway, Lee Dembart
Keywords: lecture; Mathematics
http://www.archive.org/details/fermats_last_theorem

L^p norms of eigenfunctions in the completely integrable case
Speaker: John Toth Date: May 2003
Keywords: Mathematics; lectures
http://www.archive.org/details/lecture_10214

2006年9月16日

特殊解z(X)について

与えられた微分方程式の特殊解数式1は、数式2という形をもつが、数式3 as 数式4であるから、問題となるのは数式5だけである。

ただし、数式6,数式7,数式8である。実は、数式5という積分は簡単に計算される。

答え:数式9数式10

証明は、数式11数式12、いいかえれば、数式13数式14を使うだけである。実は、数式15数式16と書き直せることを注意して、数式17数式18となる。コンピュータによる計算は、この積分は不定積分でその積分定数を偶数と奇数で違うものにしているようだ。数式19を具体的に計算することもできると思う。

また、コンピュータ計算で計算してあった式が、上の計算と見かけ上違っているが実は同じであることの説明をすると、数式20であるから、数式21
数式22
数式23
数式24

したがって余計なもの(積分定数?)数式25が足されている。

2006年7月18日

some Strum-Liouville problem

数式1の特殊解を数式2とおくと、数式3より、数式4。容易に、数式5を確かめることができる。

ここから定数変化法:数式6とおいてみる。

数式7

この式の左辺に数式8および右辺に数式9を代入すると、数式10を得る。

数式11とおくと、数式12

またさらに、数式13を用いる数式14を求めると、数式15を得る。

結局一般解は数式16となる。

2006年7月10日

mathematical review

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2006年3月 3日

Hardyの定理の拡張

[Hardy's Theorem] Let 数式1. We assume that 数式2 and its Fourier transform 数式3 satisfy the following inequalities :

数式4 ( for some constant 数式5 ),
数式6 ( for some constant 数式7 ),
then we have

(i)
数式8 if 数式9
(ii)
数式10 if 数式11
(iii)
There are many 数式12 satisfy the conditions if 数式13.

We have now a simple generalization.

[A varitation of the Hardy's theorem]

Let 数式14 and 数式15. We assume that 数式16 are not identically zero, and that they and their Fourier transforms 数式17 satisfy the following conditions.

数式18, then we must have 数式19.

Proof if 数式9 or 数式20, 数式21 which contradict our assumption. Hence 数式22, and 数式23. From 数式15, 数式11 and 数式24. The rest is obviours from the Hardy's theorem.

2006年2月22日

Lusin conjecture

The set of points at which the Fourier series of any function in L2(-π,π) diverges is of measure zero.
This was proved to be true by L.Carleson in 1966.
For many years it was one of the best-known unsolved problems in analysis.

2006年2月21日

Hardy の定理

f(x)とf(y)は同時には速くゼロへはいけない。

これはNobert Wiener の指摘。

Fourier 変換は作用素と考えるとL2からL2へのユニタリ変換である。

L2 の部分空間 Hardy class では複素平面で上半平面で解析的な関数の baoundary を表すが、これは解析関数の性質を持つので、 zero を集積点としてもてない。つまり f(x) はほとんどゼロでないか全くゼロのいずれか。中間物がないのである。しかしこれに対して、これのフーリエ変換 f(y) は、 y>0 で全くゼロとなる物である。

つまり f(x) はゼロでないにたいし f(y) はあるところでゼロ(すごく速く)ゼロになっている。

もう一つの言い方に、 Heisenberg や Weil の量子力学の不完全性原理 uncertain principle と言う物がある。これについては、いずれ研究をすることとして、今日は次の Hardy の定理を研究の対象とする。

Hardy は f(x) が e(-x2) よりゆっくりしかゼロに行かなければ

f(y) も e(-y2) ぐらいしかゼロにいかないことを証明した。 Hardy の定理。

これの証明は、河田龍夫 Fourier解析 産業図書。

もっと完全な証明は Kawata Fourier analysis in probability theory Academic Press にあるが。しかし、河田の述べている定理は残念ながら Hardy の定理が示す内容を一部しか表現していない。

つまり、f(x) > Ce(-ax2)とf(y)2) が同時に成り立つとき

(1) ab<1 なら f=0
(2) ab=1 なら f=Ce(-ax2)
(3) ab>1 なら 上の条件を満たす f は無数にある( hermite 関数でL2で dense subset を構成する)

実関数とForier 解析2 高橋陽一郎 岩波書店現代数学の基礎 p.292

これは、これで終わりと思うかもしれないけど、実はいろいろな発展が考えられる。

ひとつは、

Proceeding of AMS 2006 ,vol 134,no.5 1459-1466の

Hardy's Theorem and Rotations

そして、私がいまたぶん何らかの発展ができるとにらんでいるのは Beruring の定理との関連である。

L.Hormander A uniqueness theorem of Beuring for Fourier tarnsform pairs, Ark.Mat.29(1991)237-240

2004年1月18日

センター試験の受験番号についての考察

受験番号は4桁の数字とアルファベット1文字からなる
例:2001X

受験生の番号をしらべると、教室の配置で数字の部分は1,2,3,4・・と順番になっているが、あとの英文字は一見ランダムのように見える。これは、何のためか?

誤りを検出するためというのはすぐにわかる。受験番号をマークする際、間違えた人が0点になるのは仕方がない。しかし、それを間違えられたほうの人は、大きな被害を受ける(得する場合もある)。

そこで、試験監督の暇を利用して、コードを解析することを考えた。

結果:

XURMKHCBAURMKHCBAYZXKHCBAZYXURCBAZYXURMKAZXUR
MKHCYXURMKHCBAURMKHCBAZYMKHCBAZYXUHCBAZYXURM

であった。

(1) とにかく4文字ずつ同じパターンがあることがわかった。
(2) 出てくる文字はすべてのアルファベットではなく11文字しかない!

そこで、受験票のマーク欄をみると、

ABCHKMRUXYZ

が最後のマークする部分のアルファベットであった。これを逆に繰り返しおいてみると

ZYXURMKHCBAZYXURMKHCBAZYXURMKHCBAZYXURMKHCBA.....

これを上と重ねてみる

XURMKHCBA   URMKHCBAZYX   KHCBAZYXUR   CBAZYXURM
XURMKHCBAZYXURMKHCBAZYXURMKHCBAZYXURMKHCBA.....

これで解決しました。11文字を逆順にならべ10文字用いては3文字飛ばすを繰り返しているわけである。これで、誤り検出能力はどのくらいだろうか?

ほとんどランダムと考えてよいなら、10/11は誤りの検出ができる。つまり逆に、0.9%ぐらいは誤りをみのがしてしまう。

まあ、受験生がマークミスをすることはあまりないからこれぐらいで充分実用的と考えているのだろう。

2002年6月23日

サッカーの得点

サッカーの得点はかなりランダム。なかなか点数が取れない守備主体のゲームであり、先取点を取ったほうが勝つ確率を計算することによりそれを実証している。

http://plus.maths.org/issue20/features/haigh/

平均点が2.6-2.9ぐらいのポアソン分布のようである。シュートが成功、失敗の2項分布とも見れる。これにくらべ、バスケットのように大量点を許すゲームでは、ランダム性が少なく実力がそのまま反映する。

1998年2月 4日

Clarksonの不等式

伊藤先生の日記をコピーさせてもらった。

Clarkson's Inequality

数式1次の不等式が成立する。数式2

(1)
数式3 for all complex numbers 数式4, 数式5, for 数式6 real number.
(2)
数式7
(3)
数式8
(3)は(1)において数式9(数式10 real)とした場合に当たる。

証明 (1)を示すのはそれほど容易でなかった。まず実変数に関する不等式(2),(3)をそれぞれ独立に証明し、(2),(3)を用いて(1)を示す。もっとelegantな証明があると思うが・・・・

(2)の証明

数式11

数式12とおく。数式13であるから数式14を示せば良い。

数式15

数式16であるから

数式17

数式18

数式19を示す。

数式20とおくと、数式21

よって数式22 for 数式23を示せば良い。

数式24

数式16であるから

数式25

よって

数式26

(3)の証明

数式27

これは容易である。数式28であるから

数式29

次に、数式30を示す。

数式31とおく。数式32

数式33数式34における増減を考える。

数式35
数式36
数式37
数式38
数式10 数式39 数式40 数式41 数式40
数式42 数式39 数式43 数式39 数式44
数式33 数式45 数式46 数式47 数式48

よって数式49 for all 数式34. しかし、

数式50
数式51
数式52
数式53

よって数式54 for all 数式34が示された。

(1)の証明

数式55

数式56とおくとき

数式57

を示せば良い。数式58を固定して数式59とおくと

数式60
数式61

数式62の場合だけ考える(数式63のときは明らかであるから)

よって

数式64
数式65
数式66
数式67
数式68

同様に、

数式69
数式70
数式71

よって

数式72

が示された。

終わり

1997年7月29日

Polyaのrepresentation theorem

Polyaのrepresentation theorem

Definition Given a set 数式1, the intersection of all half-planes that contain 数式1 is called the closed convex hull of 数式1 and is denoted by 数式2.

要するに、数式1のあらゆる数式3点を線分で結んでできる集合を含む最小の凸集合。

Definition For any set 数式4, 数式5 is called the support function of 数式4.

複素平面で集合数式4がある時この集合数式4に外接する接線と数式4の交点から、原点から角度数式6となる直線への垂線の足をおろし、この足と原点との距離が数式7である。

多分、数式8というのは初等的だろう。


Let 数式9 be an entire function of exponential-type and write 数式10. The Borel transform 数式11 of 数式9, defined by 数式12. We can see that 数式13, in the sense of analytic continuation. We also see that

数式14

つまり、解析関数数式9のボレル変換(数式15ラプラス変換)数式11をとってその逆変換で表わせるということである。ただ、このラプラス変換の積分の道数式16は実軸でなく複素平面上のある直線であることに注意する。

Definition The indicator function of 数式9 is

数式17
.

Polyaは次の驚くべき定理を証明した。

Theorem 数式18.

但し、数式7を定義するべき集合数式4は、数式19のsingular pointsである。

わかりにくいかもしれないので、例をあげると数式20とすると数式21となり、数式9のタイプ数式22数式19のsingular point 数式22となる。

前回あげたconjectureは、数式9のタイプやindicator functionがそのボレル変換のsingularityiesで作る凸集合で関連付けられる。たとえば、「整数シフトしたらそれらは、互いに交わらない」などがかんがええられる。これは、単に夢想に過ぎないだろうか。問題を考え始めるときはどのように始めても良い。しかし、そもそもCarlsonの定理の必要条件とは?

きょうもすこししかすすまなかった。

参考文献:Lee A.Rubel with James E.Colliander Entire and Meromorphic Functions, Springer Universitext ISBN 0-387-94510-5

1997年7月20日

entire function

複素数全平面で定義された解析的な関数をentire functionという

Definition The order of an entire function 数式1 is

数式2

where 数式3.

Definition An entire function 数式1 is called of exponential-type if 数式4.

Definition The indicator function of 数式1 is

数式5

Definition The type of an exponential-type entire function 数式1 is

数式6

Theorem A ( F.Carlson 1914 ) Suppose 数式1 is an entire function of exponential-type with 数式7, and suppose 数式8. Then 数式9.

定常確率過程がある時、これを飛び飛びの時点だけを観察する、あるいは飛び飛びの時点の値だけを通信で送るだけで、全体のデータを復元できるか?

この問題は、応用上でも重要で、Shannonの通信理論でも取り上げられている。

Theorem B (Sampling Theorem) The following properties of x, stationary in the wide sense and continuous in mean square, are equivalent:

(i)
Each random veriable 数式10 of the process is determined linearly by sample 数式11.
(ii)
For some irrational number 数式12 is determined linearly by the samples;
(iii)
There exists a support 数式13 of the spectral distribution of the process whose translates 数式14 are mutually disjoint.

S.P.Lloyd, A sampling theorem for stationary stochastic process, Transaction of AMS,pp.1-12,1958

最初考えたのは、Theorem Bの証明法が気に入らない、もっとスマートな証明がないだろうかというものだった。Theorem Bの証明は、きわめて実関数論的で測度の絶対連続性、エルゴード定理(Oxtoby)に訴えるものである。Theorem Bを別の言葉で説明すると、 数式11数式15を完全に近似する、あるいは 数式11が確率過程数式15の値で張る線形空間でdenseということである。これを言うには、spectral distributionすなわち、有界非減少関数数式16についての数式17において

数式18…(1)

より数式19を言えば良い。正しくはHahn-Banachの定理なのだが、直感的には数式20と直交するものはゼロしかない。つまり、補空間がゼロでありそれだけでを埋め尽くしてしまっているということである。

問題数式21 Theorem BをTheorem Aに帰着させる事が出来るか?

数式22

とおいてみれば、(1)は数式23であるからこれから数式24を示す事ができればフーリエ変換の性質から数式25が出る。Theorem Aとの類似性は明らかであろう。

はじめは、そんな風に出発したのだが、逆に Theorem Bが成立している事の方を認めてしまうと、Theorem Bは必要十分の命題だがそれに対してTheorem Aは十分条件だけしかないことに気がつく。

そこで、数式8が成り立つとき、数式24となってしまう性質をCarlson propertyという事にすれば

問題数式26 Carlson propertyが成立する必要十分条件はなにか?

となる。数学的には、こちらの方が大きい結果をもたらすと思われる。Theorem Bの条件(iii)と関連した条件でスペクトル関数でなく数式27に固有の量を用いる条件に違いない。僕の直感ではそれは数式28であると思う。

1997年6月 9日

Fejer-Riesz theorem

Fejer-Riesz theorem:

A non-negative trigonometric polynomial

数式1

can be expressed in the form

数式2

where

数式3

The trigonometrical polynomial 数式4 can be chosen so that all its zeros are in the closed upper half-plane.

A generalization of the Fejer-Riesz theorem can be obtained by considering, instead of fineite trigonomtric sums, infinite series of the type

数式5

(B.Ja.Levin Distribution of Zeros of Entire Function(1964),p437-p.443)

Levin also said in his book that there are finite sums that can not be expressed as the squares of the absolute values of finite sums.

It can be proved, in particular, that for 数式6 and irrational 数式7, the almost periodic polynomial

数式8

can not be expressed as a product of almost-periodic polynomials.

However Professor Ito has shown me that we can express 数式9 for the case 数式10 as the square of the absolute value of a finite sum. In fact we see easily that

数式11

So we would like to know whether Levin's statement is true or not.

Can anyone inform us about this thing?

1997年5月22日

研究談義

伊藤先生と食事(定食800円コーヒ付き。チキンライス、サラダ)しながら研究談義。

[1]

数式1
は、Paley Wiener空間数式2においてnormal familyを構成する。というのはPaley-Wienerの定理により、ある数式3乗可積分な関数数式4が存在して
数式5
と書け、Plancherelの定理などを使って複素平面上にあるコンパクト集合に属する各数式6に対して
数式7
となることから数式8に依存せず数式9全体にだけ関係する定数で押さえられるつまり一様有界であることがわかる。 ここで、すべてのノルムは数式10でとった。ついでに言うと、数式2数式10に属する関数でタイプが数式11以下の指数型整関数で作る空間のこと。Montelのnormal familyというのは数式9は相対コンパクト、つまり無限列から収束する部分列で選べることが知られている。

[2]

Gaussian Process, Functon Theory, and the Inverse Spectral Problem, Dym /Mckean, Acad Press の p.111にある例題の証明が一部理解困難であった。それは、数式12を整数点にだけサポートをもち数式13なる測度、数式14をタイプが数式11以下の指数型整関数として数式15とする。ここで、共通部分はすべての整数数式16についてとった。
このとき、つぎが成り立つというものである。

数式17

の証明:
数式18に対して数式19を示せばよい(なぜなら数式20であるから)。
そこで、数式21である関数を次ぎのように定義する
数式22

仮に結果が正しくないとして(矛盾を出すのだが)数式23としてみると、任意の数式24に対して数式25となるような数式26がとれる。ここで、すべての数式24に対して数式27となるようにしておく。
数式28であり、数式29より、sampling定理を使って
数式30

最後の不等式は、数式31の関係を用いた。
これから、数式32はnormal familyであり数式33の部分列数式34をえらび数式35(広義一様収束)とできる。さらにこのことから、数式36(広義一様収束)。
上の不等式を考えれば数式37でなければならない。一方、Paley-Wienerの定理より数式38であるから数式39とも書けるから数式40である。
これは、Carlesonの定理より数式41を意味し、さらにまた数式42も意味して上に述べたことに矛盾してしまうのである。

今日の伊藤先生の問題

数式43
において、被積分関数が調和関数であることを使わない一般的な証明はあるか。

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